问题描述

  1. 当不同质量的球被放置在斜坡的同一高度时,两者是否会同时落地?
  2. 当相同质量的环、球和方块被放在斜坡的同一高度时,谁先落地?

这篇文章里,我将从解决这两个问题入手,解析滚动的概念。

什么是滚动

首先,需要明确的是,我们这里研究的滚动(Rolling)是平动和转动的结合。换句话说,就是球同时具有平动的速度和转动的速度。

Rolling without Slipping

滚动共有三种情况:

  • vcm>ωrv_{cm} > \omega r, 其中vcmv_{cm}是质心的速度, ω\omega是角速度, rr是球的半径
  • vcm<ωrv_{cm} < \omega r
  • vcm=ωrv_{cm} = \omega r

在这里我们仅仅研究第三种情况,即滚动但不滑动的时候,球是如何运动的。

滚动但不滑动

由上图可见,当球体滚动但不滑动时,它与地面的接触点P在瞬时是静止的。

也就是说,地面只给球提供了一个静摩擦力(球与地面的接触点没有移动)。所以,就是这个静摩擦力给球提供了力矩让它来旋转

所以,我们可以得到几个引申结论:

  • 一、当物体滚动但不滑动时,能量是守恒的。能得到这个结论是因为静摩擦力并没有使得P点产生位移,所以它不会做功。将这个结论放在这两道题的背景下我们可以明白,当滚动但不滑动的物体从坡上到达地面时,重力势能会全部转化成平动动能和转动动能。
  • 二、因为物体滚动但不滑动,所以rθ=xr\theta = x,其中θ\theta是单位时间内转过的角度,xx是单位时间内物体移动的长度。由此我们可以得到rω=v,rα=ar\omega = v, r\alpha = a.

问题一

了解完基本概念之后,我们就可以来解决第一个问题,即“当不同质量的球被放置在斜坡的同一高度时,两者是否会同时落地?”

从定性的角度来说,我们可以猜测是同时落地:

  • 我们可以不严谨的将之类比于比萨斜塔实验,两个小球会同时落地。
  • 因为两个球滚动但不滑动,所以能量守恒,两物体的末速度相同。又因为两个物体的加速度都一样(这个如果不明白可以看接下来的定量分析),所以它们会同时落地。

从定量的角度,我们需要证明的就是时间与落地速度无关。如果需要证明这一点,根据上面的定性分析,我们其实只需要证明两个物体的加速度一样。要证明这个结论,我们可以做出如下假设:

假设球质量为mm,根据受力分析我们可以得到:

  • mgsinθf=mamgsin\theta - f = ma
  • fr=Iar=25mrafr = I{a\over r} = {2\over 5}mra

合并这两个公式我们可以得到:a=57gsinθa = {5\over 7}gsin\theta

所以,我们可以得到一个重要的结论:在斜坡上,只要物体在滚动但不滑动,它的加速度与质量无关。

问题二

接着我们来研究这个问题:“当相同质量的环、球和方块被放在斜坡的同一高度时,谁先落地?”

首先我们需要明确这几个的转动惯量:

  • 环:mr2mr^2
  • 球:25mr2{2\over 5}mr^2
  • 方块:16mr2{1\over 6}mr^2

针对每一个物体,我们都可以效仿问题一的解法列出对应的公式。这里就不一一列举,而是直接给出他们分别的加速度:

  • 环:12gsinθ{1\over 2}gsin\theta
  • 球:57gsinθ{5\over 7}gsin\theta

所以,对于环和球毫无疑问是球先落地。

而对于方块我们则需要额外分析一下:

  • 如果方块不转动:这个时候方块所受到的摩擦力小于球所受到的摩擦力。因为球所受到的是静摩擦力,大小为mgcosθμsmgcos\theta \mu_s,而方块受到的是动摩擦力,大小为mgcosθμk<mgcosθμsmgcos\theta \mu_k < mgcos\theta \mu_s。所以,方块的加速度更大,方块先落地。
  • 如果方块转动:因为方块的转动惯量为16mr2{1\over 6}mr^2,所以它的加速度为67mr2>57mr2{6\over 7}mr^2 > {5 \over 7}mr^2。所以它比球先落地。

综上所述,我们可以得到方块会比球先落地,球会比环先落地。

图源:Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics

针对这种问题,我们可以总结出一个公式:

假设物体的转动惯量为I=x(mr2)I = x(mr^2).我们可以得到mgsinθxma=mamgsin\theta - xma = ma.

所以,a=1x+1gsinθa = {1 \over x+1}gsin\theta.